4 Der Aussagenkalkül.

4. X —> Y (lies „‚wenn X, so Y‘“) bezeichnet die Aussage, die dann
und nur dann falsch ist, wenn X richtig und Y falsch ist.

5. X>Y (lies „X gleichwertig Y‘), auch wohl X <& Y oder X —Y
geschrieben, bezeichnet die Aussage, die dann und nur dann richtig ist,
wenn X und Y beide richtig oder X und Y beide falsch sind. X> Y
bedeutet also, daß X und Y beide denselben Wahrheitswert haben.

Zu 3. bemerken wir, daß die Verknüpfung ‚„‚,X oder Y“ nicht mit
dem ausschließenden oder, im Sinne des lateinischen aut — aut, ver-
wechselt werden darf. Dieses ‚‚oder‘““ hat vielmehr die Bedeutung von
„oder auch‘ im Sinne des lateinischen vel, d. h. die Möglichkeit des
Zusammenbestehens von X und Y wird mit zugelassen!.

Die Beziehung ‚„wenn X, so Y“ ist nicht so aufzufassen, als ob
damit ein Verhältnis von Grund und Folge gesagt werden soll. Viel-
mehr ist die Aussage X —> Y immer schon dann richtig, wenn X eine
falsche oder auch, wenn Y eine richtige Aussage ist.

So haben z. B. folgende Aussagen als richtig zu gelten:

Wenn ‚„2mal 2 gleich 4‘, so „ist der Schnee weiß“‘.

Wenn „2mal-:2 gleich 5°, so.„‚ist der Schnee weiß“‘,

Wenn „2mal 2 gleich 5‘“, so .‚,‚ist der Schnee schwarz‘‘.

Falsch wäre dagegen die Aussage: Wenn „2mal 2 gleich 4‘, so
„ist der Schnee schwarz‘‘. Immerhin hat die Beziehung X — Y mit der
Beziehung von Grund und Folge das gemeinsam, daß im Falle der
KRichtigkeit von X —> Y aus dem Bestehen von X das Bestehen von Y
entnommen werden kann.

Die Beziehung X> Y hat nicht etwa den Sinn, daß X mit Y
gleichbedeutend ist, sie besteht vielmehr zwischen irgend zwei richtigen
und auch zwischen irgend zwei falschen Aussagen. Z. B. sind die Aus-
sagen (2 und 2 gleich 4) > (der Schnee ist weiß)

(2 > 3) —> (der Schnee ist schwarz)
richtig.

Besonders wichtig ist noch‘ die allgemeine Bemerkung, daß nach
unserer Definition der logischen Grundverknüpfungen die Richtigkeit
| oder Falschheit einer Aussagenverknüpfung nur von der Richtigkeit und
_ Falschheit der verknüpften Aussagen, nicht aber von ihrem Inhalt ab-
hängig ist. Bezeichnen wir zur Abkürzung eine richtige Aussage mit %
und eine falsche Aussage mit %, so ist z. B. die Verknüpfung — dadurch
gekennzeichnet, daß die Aussagen R—> R, F—R und F —F richtig
sind, X — & aber falsch ist. Für die Verknüpfung & ist R& richtig,
R &F, F&R, F&F sämtlich falsch. Entsprechendes gilt für die
übrigen Verknüpfungen.

1 Das ausschließende ‚„‚entweder — oder‘‘ kann natürlich auch durch eine
Kombination der Grundzeichen ausgedrückt werden. ‚‚Entweder X oder Y“
ist die Negation von X Y und wird dargestellt durch X Y.