Einleitung. Die 7heoretische Logik, auch mathematische oder symbolische Logik genannt, ist eine Anwendung der formalen Methode der Mathematik auf das Gebiet der Logik. Sie wendet für die Logik eine ähnliche For- melsprache an, wie sie zum Ausdruck mathematischer Beziehungen schon seit langem gebräuchlich ist. In der Mathematik würde es heute als eine Utopie gelten, wollte man beim Aufbau einer mathematischen Disziplin sich nur der gewöhnlichen Sprache bedienen. Die großen Fortschritte, die in der Mathematik, z.B. in der Algebra, seit der An- tike gemacht worden sind, sind zum wesentlichen Teil mit dadurch bedingt, daß es gelang, einen brauchbaren und leistungsfähigen Formalis- mus zu finden. — Was durch die Formelsprache in der Mathematik erreicht wird, das soll auch in der theoretischen Logik durch diese er- zielt werden, nämlich eine exakte, wissenschaftliche Behandlung ihres Gegenstandes. Die logischen Sachverhalte, die zwischen Urteilen, Be- griffen usw. bestehen, finden ihre Darstellung durch Formeln, deren Interpretation frei ist von den Unklarheiten, die beim sprachlichen Ausdruck leicht auftreten können. Der Übergang zu logischen Folge- rungen, wie er durch das Schließen geschieht, wird in seine letzten Elemente zerlegt und erscheint als formale Umgestaltung der Aus- gangsformeln nach gewissen Regeln, die den Rechenregeln in der Algebra analog sind; das logische Denken findet sein Abbild in einem Logik- kalkül. Dieser Kalkül macht die erfolgreiche Inangriffnahme von Pro- blemen möglich, bei denen das rein inhaltliche, logische Denken prin- zipiell versagt. Zu diesen gehört z. B. die Frage, wie man die Sätze charakterisieren kann, die aus gegebenen Voraussetzungen überhaupt gefolgert werden können. — Eine besondere Bedeutung hat der Logik- kalkül in den letzten Jahrzehnten noch bekommen, indem er sich zu einem unentbehrlichen Hilfsmittel der mathematischen Grundlagen- forschung entwickelt hat. Die Idee einer mathematischen Logik wurde zuerst von Lezbniz in klarer Form gefaßt. Die ersten Ergebnisse erzielten A.de Morgan (1806—1876) und G. Boole (1815—1864). Auf Boole geht die gesamte spätere Entwicklung zurück. Unter seinen Nachfolgern bereicherten W. S. Jevons (1835—1882) und vor allem C. S. Peirce (1839—1914) die junge Wissenschaft. Die verschiedenen Resultate seiner Vorgänger Hilbert-Ackermann, Grundzüge. 1