( I.565 )
» Supposons que l'on différentie l'équation (23), ce qui fera disparaître l’arbitraire k,et que, de l’équation résultante, on tire la valeur de ~ pour
la substituer dans l’équation (26). Alors, comme u'2, u"2 représentent les valeurs fournies par les équations (!3), les équations (6), (a5) et (26), qui sont toutes du troisième ordre et ne renferment aucune arbitraire, constitueront, d’après M. Hesse, le système différentiel duquel dépendent les distances r, r׳; r",quand on ne fait pas intervenir les principes des forces vives et des aires. Enfin si, des mêmes équations (6), (■25) et (26), on tire les valeurs de d(u2),d(u'2), pour les porter dans l’une des équations (24), celle-ci donnera, d’après le même géomètre, une valeur de p qui sera seulement du deuxième ordre; en portant cette valeur dans l’équation (23) et en joignant ensuite cette équation aux équations (!4) et (26), on obtiendra un système composé de deux équations du deuxième ordre et d’une du troisième ordre, dans lequel figureront les deux constantes arbitraires fet k.
» Telle est la solution que M. Hesse propose de substituer à celle de Lagrange, solution qui serait évidemment beaucoup plus simple que celle de l’illustre auteur; mais il n’est pas difficile de se convaincre de !’inexactitude des résultats obtenus par M. Hesse, ou au moins de sa conclusion. Effectivement l’équation (26), après qu’on en a
éliminé p^| par l’équation (23) différentiée, n’est pas autre chose que l’équation (6) multipliée par le facteur + Ç -+- —• les trois équations
du troisième ordre qui composent le premier système de M. Hesse ne sont donc pas distinctes. Le deuxièûie système du même géomètre ne saurait, en conséquence, avoir d’existence réelle, puisque les équations du premier système sont impropres à fournir les valeurs des différentielles du troisième ordre, ou, ce qui revient au même, les valeurs des différentielles d(u2), d(u'2), d(«״*). On ne saurait se dispenser, dans la recherche dont nous nous occupons, de tenir compte de l’équation (21), comme Lagrange a eu soin de le faire.
» Les réflexions qui précèdent ont été l’objet d’une Communication verbale que j’ai eu l’honneur de faire récemment au Bureau des Longitudes; la théorie.qu’elles concernent a une si grande importance, que j’ai jugé utile de les présenter à l’Académie, en leur donnant un certain déve-loppement. »
C.R.,1873, IerSemestre. (T. LXXVI, N° 20.)
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