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». Si /, = o, /a = O= O sont 7/z équations renfermant 22 variables indépendantes q{, q2,.. .,qn,et les dérivées partielles	.,p,n prises
par rapport à ces variables, d’une fonction , qui d’ailleurs n entre pas dans ces équations, pour que ces équations admettent des solutions com-inunes, on sait que, en posant
4A <y\
dp h dqh
dqh dp h
/2 = 72
w./.) =2
(■)
h~1
les fonctions	doivent satisfaire, prises deux à deux, à des
conditions de la forme
(fus*) = °י
(נ)
conditions qui doivent être satisfaites soit identiquement, soit en vertu des équations proposées, soit enfin en vertu de relations ultérieurement établies entre les variables p,, p2,,	י • • • י Dans ce dernier cas,
on adjoint l’équation (a) aux proposées, et l’on soumet le nouveau sys-tème aux mêmes opérations que le premier, en opérant comme precédem-ment pour toute condition qui n est pas immédiatement satisfaite, et 1 on continue ainsi jusqu’à ce que l’on arrive a un système de m׳ équations satisfaisant aux conditions d’integrabilite. Alors, si l on a 772 572, il existe des solutions communes; au contraire, le problème est impossible si l’on a 772' > 72, et il suit de là que l’on peut arrêter les calculs lorsque le nombre des équations égale celui des variables.
» Mais, pour décider de la possibilité ou de l’impossibilité du problème, il ne faut conserver que des équations réellement distinctes, et, pour cela, il importe de connaître les relations qui existent a priori entre les fonctions diverses que l’on obtient en effectuant l’opération (1), soit avec les fonctions proposées, soit avec celles qui résultent déjà de cette opé-ration.
» Ces relations sont remarquables et nombreuses, et les résultats aux-quels je suis parvenu sont absolument indépendants de toute hypothèse particulière sur là forme des fonctions.
» J’appelle	fonctions complexes celles qu’on déduit des fonctions pro-
posées/2,.	au moyen de l’opération (1), et, parmi ces fonctions
complexes, je distingue, sous le nom de fondions	celles qui
sont formées par des combinaisons successives de fonctions simples ,
J11 • • • ר Jm•
.־ Cela posé, en partant d’un lemme dû à Jacobi, je démontre d’abord