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client j droites et (n — i—j)plans, et satisfont à une autre condition multiple d ordre (9 — tt), le résultat de cette substitution est le nombre des surfaces qui satisfont à ces deux conditions multiples.
« On doit remarquer que, si я dépasse [\, les coefficients du module renferment des arbitraires, grâce auxquelles on peut le réduire au même nombre de termes que le module de degré (9 — я).
» Théorème IV. Le module d'une condition composée est le produit des modules des conditions composantes. Et, en particulier, /e nombre des surfaces qui satisfont à des conditions, dont la somme des ordres de multiplicité est égale à 9, est représenté par le produit symbolique des modules de ces condi• lions, dans lequel chaque symbole (p1 d)P9-*־■/) est remplacé par le nombre des surfaces qui passent en i points, touchent j droites et( 9 — i — j) plans.
» Les quatre théorèmes précédents ne sont nouveaux que par la forme ; les deux suivants, relatifs aux coniques dans l’espace, le sont aussi quant au fond. Je me borne ici à les énoncer.
» 3° Coniques dans l’espace. — Théorème V. Toute condition multiple d’ordre я peut être caractérisée par un polynôme homogène et de degré p, à 3 variables, d, P, p, nommé module. Si ion remplace, dans ce polynôme, chaque symbole (dlVJp%־־l~J) par le nombre des coniques qui rencontrent i droites, qui touchent j plans, et dont le plan passe par (я —i — /) points, et qui satisfont, en outre, à une condition multiple d’ordre (8 ~ я), le résultat de la substitution est le nombre des coniques qui satisfont aux deux conditions multiples considérées.
» On doit remarquer, en premier lieu, que si я dépasse 4? les coefficients du module renferment des arbitraires, grâce auxquelles on peut le réduire au même nombre de termes qu’un polynôme homogène et de de״ gré (8 — я), à 3 variables; et, en second lieu, que chaque symbole, où Fexposant de p dépasse le nombre 3, est nul.
» Théorème VL Le module d’une condition composée est le produit des modules des conditions composantes. Et, en particulier, le nombre des coniques qui satisfont à des conditions, dont la somme des ordres de multiplicité est égale à 8, est représenté par le produit symbolique des modules de ces conditions, dans lequel chaque symbole (diP‘/p8~i־־־־/) est remplacé par le nombre des coniques qui rencontrent i droites, touchent j plans, et dont le plan passe par (8 — i — j) points.
» La valeur des différents symboles tels que (rfгP/^>8“־־־*־־■,) a été calculée par M. Chasles ( Comptes rendus, t. LXI, p. З89). On peut, par conséquent, déduire du théorème précédent une formule qui donne le nombre des