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doit être devenue infinie, comme cela arrive pour la parabole, dans les courbes du second degré, ou pour les courbes paraboliques du quatrième ordre que peut représenter l’équation du second degré à coefficients imaginaires.
» Dans ce cas, en effet, deux branches de la courbe se rejoignent à !,infini, c’est-à-dire forment un anneau qui, ne se fermant qu’à Finfini, a une aire infinie.
» Le fait peut, au reste, être mis en évidence par l’une ou l’autre de ces observations trop aisées à vérifier pour qu’il soit nécessaire de développer les calculs : iQ que lorsqu’une courbe a deux asymptotes parallèles, l’une des tangentes parallèles à une direction donnée s’en va à l’infini, c’est-à-dire que l’un des points critiques du lieu s’en va lui-même à l’infini; 20 que dans le même cas les trois équations
=־ O, /:.= 0 et /; = O
admettent la solution commune ¿c = co 9j = go , c’est-à-dire que la courbe a un point double à l’infini.
» Je ne crois pas que cette observation se trouve ¡dans l’Ouvrage de M. Clebsch.
» Lorsque la courbe proposée a deux asymptotes parallèles, une seconde condition peut ramener la période à l’état fini : c’est celle ou des deux asymptotes seraient restées à distance finie l’une de Fautre. Une foule d’exemples connus viennent confirmer cette assertion..
» Enfin une troisième condition peut rendre de nouveau la période évanouissante : c’est celle en raison de laquelle les deux asymptotes parallèles viendraient en coïncidence. Dans ce cas, la période deviendra indéterminée.
)) Il est évident que les seuls cas à examiner sont ceux que nous venons de passer en revue, car la représentation géométrique d’une période ne peut disparaître qu’autant que cette période devient nulle ou infinie, et il est clair que l’une ou Fautre circonstance ne peut se présenter que dans l’un ou Fautre des cas que nous avons considérés.
)> Je terminerai par une remarque à laquelle on trouvera peut-être quelque intérêt. On sait que la méthode donnée par Cauchy pour la recherche des périodes d’une intégrale est fondée sur la considération des points critiques du lieu à quarrer. Lorsque le contour relatif à x, le long duquel se fait l’intégration, ne comprend aucun point critique, l’intégrale est toujours nulle; tandis qu’elle ne l’est généralement pas dans le cas contraire, et que,
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