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droites. Ces trois droites sont les normales principales que l’on peut construire à partir du point l.Puisqu’à partir d’un point quelconque de A on peut construire trois normales principales, la droite A est une droite triple de la surface des normales principales. Tout plan mené par A coupant, en outre, cette surface suivant une droite, on voit alors qu’elle est du quatrième ordre. Ainsi :
» /Théorème III. — La surface formée les normales principales des trajectoires	de tous les points d’une droite est	quatrième ordre qui
possède une droite triple.
» L’intersection de cette surface avec Thyperboloïde des axes de courbure est la courbe des centres de courbure. On voit ainsi immédiatement que cette courbe est du cinquième ordre.
» Nous allons arriver autrement à ce résultat. Considérons le point comme sommet d’un angle droit dont l’un des côtés s’appuie sur D et A, l’autre côté sur G et H. Le point c appartient alors à une surface du quatrième ordre, qui contient les quatre droites D, A, G, II ; car sur le côté gh de l’angle droit il y a deux points tels que et les points font partie du lieu. Cette surface est donc du quatrième ordre, et, comme elle contient les trois droites A, G, II de l’iiyperboloïde des axes de courbure, elle coupe cette surface suivant une courbe du cinquième ordre. Ainsi :
» Théorème IV. — Le lieu des centres de courbure des trajectoires de tous les points d’une droite est une courbe du cinquième ordre.
» Cette courbe rencontre le plan de l’infini en cinq points, dont un, "toujours réel, est le centre de courbure de la trajectoire du point qui est a l’infini sur D. Les quatre points restants sur le plan de l’infini doivent être imaginaires, puisque nous avons vu qu’en général il n’y a pas, sur une droite, de point qui soit point d’inflexion sur sa trajectoire. Ainsi, sur une droite quelconque, il y a quatre points imaginaires dont les trajectoires ont leurs centres de courbure à l’infini, et, par suite, dans im corps quelconque que l’on déplace, les points qui sont points d’inflexion sur leurs trajectoires appartiennent à une surface imaginaire du quatrième ordre. Si parmi ces points il y en a de réels, ils ne peuvent être que sur une ligne double de cette surface. Nous pouvons donc énoncer ce théorème:
„ Théorème Y.—	Aun instant quelconque du déplacement d’une figu
forme invariable, les points de cette figure qui sont points d’inflexion sur leurs trajectoires appartiennent à une surface imaginaire du quatrième ordre, et, s’il existe des points réels de celte nature, ils sont sur une ligne double surface.