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» Gette remarque faite, M. Marie s’est proposé de traiter la question suivante :
» Une équation
f(x,jr) = 0
étant donnée, et une fonction particulière étant choisie parmi celles que détermine l’équation, assigner le rayon du cercle de convergence correspondant à une valeur initiale donnée de x.
» On voit aisément que ce problème se ramène à celui-ci :
» Étant donnés deux points A et B correspondant à des valeurs a et b de oc, étant donnée de plus, parmi les racines de l’équation
/{a, j) = o,
celle qu’on regarde comme la valeur initiale de ^״, assigner, parmi les racines de l’équation
/{b, j) = o,
celle qui est la valeur finale dey, en supposant connu le chemin par lequel le point mobile correspondant à la variable x est allé de A en B.
» La solution générale de ce problème dépasse sans doute les forces actuelles de l’Analyse, et les procédés qu’on peut imaginer pour le traiter ne sont pratiquement applicables qu’à des équations d’une simplicité exceptionnelle. La méthode que M. Marie propose de suivre, et qu’il a effectivement appliquée à plusieurs exemples, repose sur un mode de représentation des imaginaires qui lui est propre et qui consiste à considérèr les valeurs
x = a + /3/, y = a' + /3' i, satisfaisant à l’équation
f(oc, y) = o,
comme répondant à un point réel, ayant a-4-|3 pour abscisse et /3' pour ordonnée. Il arrive ainsi à représenter la marche des solutions imaginaires d’une équation
J(x, y) = o,
pas connu la vraie limite de la région de convergence; à notre avis, on peut tout au plus leur reprocher des inexactitudes de rédaction qui s’expliquent par cette circonstance, que la limitation précise de la convergence était inutile aux recherches de ces géomètres. Quant à MM. Briot et Bouquet, que M. Marie comprend dans ses critiques, nous n’avons aperçu dans leurs Ouvrages aucun passage qui y donnât prise.