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doubles et en O,,..., 06 des points simples. Il s’ensuit de là qu’une courbe du sixième ordre. ■(3), à six points doubles apparents, forme avec une autre courbe, de même espèce et déterminée d’une manière convenable, l’intersection complète d’une surface cubique par une surface du quatrième degré.
» Par notre courbe C6 ne passe qu’une surface cubique ; car, dans le cas contraire, C6 serait une partie de l’intersection de deux surfaces cubiques ; donc l’autre partie serait, d’après les formules de M. Salmon, une courbe du troisième ordre à nul point double apparent, c’est-à-dire une courbe plane. (Si Ton suppose que la courbe du troisième ordre est formée par trois droites concourantes en un point et non situées dans un plan, on arrive à deux surfaces cubiques qui ont un point double commun et alors la courbe C6 possède sept et non six points doubles apparents). De là on conclut que C6 serait située sur une surface du second ordre; elle ne serait donc pas de la classe (3).
» a0 Courbe du sixième ordre (3 ) à sept points doubles apparents. — Soient
P
U6 = o, w.=== ~־ ses équations. La courbe Q3 passe par sept points doubles
Oiv.., 0T de U6 et coupe cette courbe encore aux points M*,..., M4. La courbe P4 passe aussi par ces onze points et rencontre Q3 encore au point M5 hors deU6. Supposons l’équation de la surface cubique qui passe par notre courbe C6 sous la même forme qu’auparavant ; nous aurons IIi2 = U6 U'6, et ÏÏ6 = o possédera en M5 un point triple, en M4,..., M4 des points doubles, et passera par O!,..., 0T. On voit que l’intersection de la surface cubique par la surface monoïde du quatrième ordre est composée de deux courbes du sixième ordre de la même espèce (à sept points doubles apparents). Il peut arriver qu’une courbe C6 de cette espèce se trouve sur deux surfaces cubiques qui, d’après les formules de M. Salmon, ont alors en commun une courbe cubique à un point double apparent ou bien trois droites concourantes en un point, comme il a été déjà dit.
)) 3° Courbe du sixième ordre (3) à huit points doubles apparents. — Nous aurons de la même manière IIi2 = U6U'6, et la courbe TJ'6 = o possédera deux points triples et deux points doubles. La courbe dans l’espace fera donc partie de l’intersection d’une surface cubique par une surface du quatrième ordre, dont l’autre partie sera une courbe de même espèce. Les formules de M. Salmon font voir qu’une courbe de cette espèce peut être sur deux surfaces cubiques qui passent par une courbe cubique (non propre) à deux points doubles apparents.
C. R., 1873, 1« Semestre. (T, LXXVI, №8.)
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