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courbes P5 et Q4, et elle pourra encore avoir un, deux, trois ou quatre points doubles au point de rebroussement, ce qui donne quatorze sous-espèces (voir Sâlmon, loc. cit.,p, 3g); mais comme ces points sont tout à fait indifférents à notre raisonnement, tout ce qui suit s’appliquera également à chaque sous-espèce. La courbe Q4 coupera U6 encore en douze points M,,..., Ml2, par lesquels doit aussi passer P5 ; cette dernière courbe déterminera sur U6 les six points w =■ o de CG, et sur Q.s deux points M,3, M,4,־ qui ne seront pas sur UG. On peut prouver directement qu’il y a des courbes propres du cinquième degré qui passent par les dix-huit points O,,..., 0G, M,,..., M12,de Q4; en voici un exemple. Soient O,,..., 06 six points du plan = o et désignons par le symbole (ik) = o l’équation de la droite OjO*. » Si l’on pose
; ׳
Q4 = .A,(ia)(34)(56) -H B,(i4)(26)(35)
P, = C1Q4 + D<[(i5)(24)|36)A!-(i3)(!»5)
A,, B,, C,, D, étant des fonctions de la forme ־(־ by -+- on remarque facilement que les courbes propres U6, P5 et Q4 remplissent les conditions énumérées. Donc il y a des courbes du sixième ordre à six points doubles apparents; l’existence des courbes à sept, huit, neuf ou dix points doubles apparents devient alors évidente.	:
» Une courbe du sixième ordre située sur une surface du second ordre est une courbe à six, sept ou dix points doubles apparents. Soit C8 une courbe située sur une surface du second ordre et À un point de cette surface qui n’est passur C6; soit AB une droite qui rencontre G״ en deux points; cette droite, ayant trois points communs avec la surface du second ordre, sera une génératrice de cette surface. Donc sur les deux génératrices menées par A se trouvent tous les points multiples apparents de la courbe C6 vue dii point A. Supposons : i° que C* coupe les génératrices d’un système en cinqpoints et celles de l’autre en un point, alors la courbe C״ vue du point A aura un point quintuple apparent, ce qui équivaut à dix points doubles apparents; 2° que C6 coupe les génératrices de la surface du second ordre en quatre et en deux points, respectivement ; C6 aura un point quadruple et un point double apparent, qui représentent sept points doubles apparents; 3° que C6 coupe chaque génératrice de la surface en trois points; en ce cas la courbe C6 aura deux points triples apparents qui équivaudront à six points doubles apparents. Si donc une courbe C6 se trouve sur une surface