( i3a )
» Cette valeur de 4 mise dans la première équation, divisée d’abord par x4, et écrite ainsi,
b J- -I- C ) - H- (fJ-2 +^+^3 = 0׳
,-1
X
j’
.r
la transforme en une équation du quatrième degré en yt dont les racines déterminent les quatre points communs aux deux courbes.
exy -\- fx ef +/׳
SI
: o,
V. ax3 + bx2y 4- cxy2 4- dx2 bxy 4- cf1 4- dx
ax*
où Ton a
b2 — 4 ac2 — o.
»	N =	6. Les deux courbes ont un	point commun à	l’infini,	dans	la
direction	de la droite y — — ~x;	elles sont	tangentes	en ce	point	à	la
droite de l’infini, et ont entre elles un contact du troisième ordre ; donc g¿ =4 et N — co =2׳■.. Ainsi les courbes ont deux points communs à distance finie. Et, en effet, ces points sont accusés par l’équation
(/־־־/’) æ ־+־ S7 — °> qu’on tire des deux proposées.
»	Y',	x3 4- 9.x2y 4- xj2 — x2	—*	4xj. —	2x — 3j	= o,
°3 4“ 2X2 y 4־ x y2 — X2	—	4 XJ —	3x — . J
“ O,
X"
» N = g — 1 = 8. Ces deux courbes sont tangentes, à la droite de Fin-fini, au point situé dans la direction y = x, et ont en ce point un contact du troisième ordre. En outre, elles sont tangentes à l’axe Oj au point de l’infini; on a donc w = 4 + 1 = 5 et N = 8— 5 = 3. Ainsi les deux courbes ont trois points communs à distance finie. L’un de ces points est à l’origine des coordonnées, les deux autres sont sur la droite 2y — 5x = o.
)> Observation. — On facilite les calculs relatifs à des contacts d’ordre supérieur en des points de l’infini, en les ramenant à des contacts de même ordre à des distances finies, par une transformation homographique. Les formules les plus simples sont celles-ci :
j
1 = ^
et x:
X
’7־ = /
X — —1
y
par lesquelles la droite de l’infini devient un des axes coordonnés, »