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mais on est conduit à un résultat nouveau et plus général. Si Ton prend
^ = (;r — a)2 + ( y — P)2 ■+• (z — y)2 + d,
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l’équation précédente sera encore vérifiée. Ainsi toute famille satisfaisant à l’équation différentielle
y	'
iduy fduy {âuY—	1
\dr/ \àx) \è/ ■”[(д?־־а)2 + (.Г“־р)2 + (2~7)2 + ^
fait partie d’un système orthogonal.
)> Si c? = o, on a le système transformé par rayons vecteurs réciproques d’une famille de surfaces parallèles ; mais si § n’est pas nul, on a un nouveau système plus général et dont peut faire partie toute surface. Il est formé des surfaces qui ont pour trajectoires orthogonales des cercles normaux à une sphère fixe, et Гоп peut toujours obtenir le système dont fait partie une surface donnée à Гаиапсе sans aucune intégration. Je l’ai indiqué dans un travail encore inédit, mais en cours de publication.
» Les mêmes remarques s’étendent à l’équation plus générale
^ = (p(u)(æ2~h	z2)-h ^{u)x -h xi11)/ + %{u)z ־+•■<*(«)>
sur laquelle je n’insiste pas pour le moment.
» On déduit une nouvelle série de conséquences en faisant intervenir la forme quadratique
/(*» I3» v) =
dont la signification géométrique est d’ailleurs assez simple, et que nous écrirons pour abréger y (a); a, /3, y seront considérés comme des directions de déplacements. Alors l’équation différentielle peut s’écrire (au moyen de combinaisons de colonnes)
h -+־•••>
Ki)
dy dz
а 4-...+ a
îir
Ôx2
a = dx, a' = d'x, a" = d"x,
ß = djr?
■y = dz,
.(״»)/ (׳»)/■
/И
a2 + j32 ч- y2 d2u
pourvu que les trois déplacements aient lieu dans le plan tangent de (w). Par exemple, si les deux premiers ont lieu suivant les lignes asymptotiques, on aura
№ V /(״')